Questão FC450775
Seja \(a\) umnúmero real fixado tal que \(cos(a)=\dfrac{3}{8}\) e considere que \(L=cos^2(a)+sin^2(a)(1+tan^2(a))-tan^2(a)+2sin^2(a).\) Qual é o valor de \(L\), tendo em vista que
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Instituto Verbena · 2024
Seja \(a\) umnúmero real fixado tal que \(cos(a)=\dfrac{3}{8}\) e considere que \(L=cos^2(a)+sin^2(a)(1+tan^2(a))-tan^2(a)+2sin^2(a).\) Qual é o valor de \(L\), tendo em vista que \(cos(a),tan(a),sin(a)\) denotam o cosseno, a tangente e o seno do número ����, respectivamente?
- \(\dfrac{71}{64}\).
- \(\dfrac{89}{64}\).
- \(\dfrac{95}{64}\).
- \(\dfrac{103}{64}\).
- \(\dfrac{119}{64}\).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comece usando a identidade trigonométrica \(1+\tan^2(a)=\sec^2(a)=\dfrac{1}{\cos^2(a)}\). Assim \(\sin^2(a)(1+\tan^2(a))=\dfrac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}=\tan^2(a)\).
Substituindo em \(L\) obtemos cancelamento: \(L=\cos^2(a)+\tan^2(a)-\tan^2(a)+2\sin^2(a)=\cos^2(a)+2\sin^2(a)\).
Com \(\cos(a)=\tfrac{3}{8}\) temos \(\cos^2(a)=\tfrac{9}{64}\) e \(\sin^2(a)=1-\cos^2(a)=\tfrac{55}{64}\).
Logo \(L=\tfrac{9}{64}+2\cdot\tfrac{55}{64}=\tfrac{9+110}{64}=\tfrac{119}{64}\).
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