Seja \(a>0\) tal que \(\tan(x)=2/a\) e \(a^2+4=64\). Então o valor de \(\sin(x)\) é

Gabarito

A

Comentário do professor

Da condição \(a^2+4=64\) temos \(a^2=60\), então \( \tan(x)=\dfrac{2}{a}\) implica \( \tan^2(x)=\dfrac{4}{a^2}=\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}\).

Usando \( \tan^2(x)=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\) e \( \cos^2(x)=1-\sin^2(x)\), obtemos \( \dfrac{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}=\dfrac{1}{15}\).

Multiplicando em cruz: \(15\sin^2(x)=1-\sin^2(x)\), logo \(16\sin^2(x)=1\) e \( \sin^2(x)=\dfrac{1}{16}\).

Como \(a>0\) implica \( \tan(x)=2/a>0\), podemos tomar a raiz positiva correspondente ao primeiro quadrante, ficando \( \sin(x)=\dfrac{1}{4}\).

Resultado: \( \sin(x)=\dfrac{1}{4}\).