Seja \(A\) uma matriz \(n\times n\), com \(n\ge4\). Assuma que, para cada \(i∈\) {1,...,\(n\)}, a \(i\) -ésima linha de \(A\) tenha uma, e apenas uma, entrada não nula. Além disso,

Gabarito

B

Comentário do professor

Pela hipótese, em cada linha \(i\) existe exatamente uma entrada não nula, digamos \(a_{i,\sigma(i)}\neq0\), e em cada coluna existe também exatamente uma entrada não nula. Assim a aplicação \(\sigma:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}\) é bijetiva e identifica uma permutação das colunas.

As equações do sistema podem ser escritas como \(a_{i,\sigma(i)}\,x_{\sigma(i)}=b_i\) para todo \(i\). Como cada \(a_{i,\sigma(i)}\neq0\), obtemos imediatamente \(x_{\sigma(i)}=b_i/a_{i,\sigma(i)}\), determinando cada componente de \(x\) de forma única.

Portanto \(A\) é invertível (seu determinante não nulo é produto dos \(a_{i,\sigma(i)}\) vezes o sinal da permutação) e o sistema \(Ax=b\) admite exatamente uma solução.