Considere a função real a seguir. \(f(x) =\begin{vmatrix} 1&x&x&1\\2&2x&-x&3\\2&-x&-x&3\\1&-x&3x&2 \end{vmatrix}\) Então,

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Use a propriedade dos determinantes: multiplicar todos os elementos de uma coluna por um número \(n\) multiplica o determinante por \(n\).

As colunas 2 e 3 da matriz são proporcionais a \(x\):

\(C_2 = x\,[1,2,-1,-1]^T\) e \(C_3 = x\,[1,-1,-1,3]^T\).

Ao fatorar \(x\) em cada uma, obtemos \(f(x)=x^2\cdot D\), onde \(D\) é um determinante independente de \(x\). Portanto \(f(x)\) depende de \(x\) apenas por \(x^2\).

Como \(x^2 = (-x)^2\), segue que \(f(-x)=(-x)^2\cdot D = x^2\cdot D = f(x)\). Em outras palavras, \(f\) é uma função par: \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).