Considere a matriz \(A=\begin{bmatrix} 1&2\\0&1\end{bmatrix}\) Qual é o valor do determinante da matriz \(A\) + \(A^2\) +∙∙∙ +\(A^{2023}\)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Alternativa B: o valor é \(2023^2\).

Note que \(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\) é uma matriz triangular superior. Calculando as potências iniciais vemos o padrão \(A^2=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}\), \(A^3=\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}\). Por indução obtemos \(A^k=\begin{bmatrix}1&2k\\0&1\end{bmatrix}\) para todo \(k\ge1\).

Somando de \(k=1\) a \(2023\) temos \(S=\sum_{k=1}^{2023}A^k=\begin{bmatrix}2023&2\sum_{k=1}^{2023}k\\[4pt]0&2023\end{bmatrix}\). O valor de \(a_{12}\) não é necessário aqui.

Como \(S\) é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal: \(\det S=2023\cdot2023=2023^2\).