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Questão FC450783

Considere o seguinte sistema de equações lineares. \(\begin {cases} 2x \,\,\, -3y \,\,\, +z \, = \, 1 \\ x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -z \, = \, 3 \\ 3x \,\,\,

Álgebra Linear Elementar

Instituto Verbena · 2025

Considere o seguinte sistema de equações lineares.

 

\(\begin {cases} 2x \,\,\, -3y \,\,\, +z \, = \, 1 \\ x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -z \, = \, 3 \\ 3x \,\,\, +3y \, -z \, = \, -2 \end {cases}\)

 

Com relação ao conjunto solução, temos que

  1. o sistema não possui solução.
  2. o sistema possui uma única solução.
  3. o sistema possui infinitas soluções que dependem de um único parâmetro.
  4. o sistema possui infinitas soluções que dependem de apenas dois parâmetros.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Alternativa correta: o sistema possui uma única solução.

Da segunda equação obtemos \(x=3+z\).

Substituindo em \(2x-3y+z=1\) e em \(3x+3y-z=-2\) temos, respectivamente, \(3y-3z=5\) e \(3y+2z=-11\).

Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, subtraindo-as ou eliminando \(y\), obtemos \(5z=-16\), logo \(z=-\tfrac{16}{5}\). Então \(x=3+z=-\tfrac{1}{5}\) e \(y=z+\tfrac{5}{3}=-\tfrac{23}{15}\).

Como chegamos a um único triplo \((x,y,z)=\left(-\tfrac{1}{5},-\tfrac{23}{15},-\tfrac{16}{5}\right)\), o sistema é consistente e independente. Alternativamente, o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o que garante solução única.

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