Questão FC450791
Considere o Sistema linear 4×4, cujas equações são: 2x + 0y + 0z + 0t = 2024; x + y/2 + 0z + 0t = 0; -x – y/2 -5z + 0t = 5; -x - y + 7z -t/5 = 1. Elaborado pelo(a) autor(a). Discut
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Considere o Sistema linear 4×4, cujas equações são:
2x + 0y + 0z + 0t = 2024; x + y/2 + 0z + 0t = 0;
-x – y/2 -5z + 0t = 5; -x - y + 7z -t/5 = 1.
Elaborado pelo(a) autor(a).
Discutindo sobre existir ou não solução, e se tem única ou se tem infinitas, então
- inexiste solução, pois a matriz dos coeficientes tem determinante igual a zero.
- existe uma única solução que é x = 1012, y = -2024, z = -1 e t = 5020.
- existem infinitas soluções que formam a reta que por (1012,-2024, -1, 5020) na direção v = (2024, 0, 5, 1).
- existem infinitas soluções que formam o plano que passa por (1012,-2024, -1, 5020) perpendicular à direção v = (2024, 0, 5, 1).
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Gabarito
B
Comentário do professor
Matriz triangular: a matriz dos coeficientes é inferior (todos os termos acima da diagonal são zero), então o determinante é o produto da diagonal: \(2\cdot\frac12\cdot(-5)\cdot\left(-\frac15\right)=1\neq0\). Como o determinante não é zero, o sistema tem única solução.
Calcule por substituição: da 1ª equação \(2x=2024\Rightarrow x=1012\). Da 2ª, \(x+\frac y2=0\Rightarrow y=-2x=-2024\).
3ª equação \(-x-\frac y2-5z=5\). Substituindo \(x,y\) obtém-se \(-1012-(-1012)-5z=5\Rightarrow -5z=5\Rightarrow z=-1\).
4ª equação \(-x-y+7z-\frac t5=1\). Substituindo dá \(1012-7-\frac t5=1\Rightarrow \frac t5=1004\Rightarrow t=5020\). Logo \((x,y,z,t)=(1012,-2024,-1,5020)\).
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