Questão FC450792
Dada a matriz ampliada C de um sistema 3x3, denotada por C = [A | B], em que A é a matriz dos coeficientes e B a dos termos independentes. Sabendo que o posto de A é igual a 2 e qu
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Dada a matriz ampliada C de um sistema 3x3, denotada por C = [A | B], em que A é a matriz dos coeficientes e B a dos termos independentes.
Sabendo que o posto de A é igual a 2 e que o posto da ampliada C é 3, então o sistema linear AX = B
- tem solução única X, pois a diferença dos postos é 3 - 2 = 1.
- tem infinitas soluções X sobre uma reta, pois a diferença dos postos é 3 - 2 = 1.
- tem infinitas soluções X fora de uma reta, pois a diferença dos postos é 3 - 2 = 1.
- não tem solução, pois a diferença dos postos é 3 - 2 = 1.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Teorema de Rouché-Capelli: um sistema linear \(AX=B\) é possível se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz ampliada.
Aqui temos \(\rho(A)=2\) e \(\rho(C)=3\). Como \(\rho(A)\neq\rho(C)\), a coluna dos termos independentes não pertence ao espaço gerado pelas colunas de \(A\).
Isso significa que há uma equação (ou combinação) adicionada pela ampliação que é incompatível com as demais, tornando o sistema impossível, ou seja, sem solução.
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