Questão FC450805
Considere o sistema linear a seguir. \(\begin {cases} x \, + \, 2y \, + \,\,\,\,\, 2z \, = \, 0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y \, + \,\,\,\,\,\, tz \, = \, 0 \\ x \, + \, 2t
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Considere o sistema linear a seguir.
\(\begin {cases} x \, + \, 2y \, + \,\,\,\,\, 2z \, = \, 0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y \, + \,\,\,\,\,\, tz \, = \, 0 \\ x \, + \, 2ty \, + \, \,\, 14z \, = \, 0 \end {cases}\)
O valor de \(t\) para que o sistema linear homogêneo apresentado, com 3 equações e três variáveis, \(x, \, y \,\, e \,\, z,\) tenha uma solução não trivial, é igual a
- \(t \, = \, -4 \,\,\, ou \,\,\, t \, = \, 1.\)
- \(t \, = \, -3 \,\,\, ou \,\,\, t \, = \, 2.\)
- \(t \, = \, -2 \,\,\, ou \,\,\, t \, = \, 3.\)
- \(t \, = \, -1 \,\,\, ou \,\,\, t \, = \, 4.\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Um sistema homogêneo admite solução não trivial quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.
A matriz associada é \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\[2pt]0&1&t\\[2pt]1&2t&14\end{pmatrix}\). Calculando \(\det A\) por expansão da primeira linha:
\(\det A = 1\cdot\begin{vmatrix}1&t\\[2pt]2t&14\end{vmatrix} - 2\cdot\begin{vmatrix}0&t\\[2pt]1&14\end{vmatrix} + 2\cdot\begin{vmatrix}0&1\\[2pt]1&2t\end{vmatrix}\)
\(\det A = 1(14-2t^2) - 2( -t) + 2( -1) = -2t^2 + 2t + 12.\)
Impondo \(\det A=0\) obtemos \(-2t^2+2t+12=0\), equivalente a \(t^2-t-6=0\).
Resolvendo a quadrática: \(t=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}\), portanto \(t=3\) ou \(t=-2\).
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