Analise o sistema linear a seguir. \(\begin{cases} x&-2y&&=a\\3x&+y&-z&=b\\-2x&-3y&+z&=c \end{cases}\) Para que o sistema linear tenha solução, é necessário que

Gabarito

D

Comentário do professor

Calcule o determinante da matriz dos coeficientes: \(D=\begin{vmatrix}1&-2&0\\3&1&-1\\-2&-3&1\end{vmatrix} =1\cdot(-2)-(-2)\cdot1+0=0.\)

Como \(D=0\), o sistema só terá solução se os determinantes obtidos ao substituir a coluna de \(x,y,z\) pela coluna dos termos independentes também forem nulos. Em particular, substituindo a coluna de \(x\) obtemos \(D_x\).

Calcule \(D_x=\begin{vmatrix}a&-2&0\\b&1&-1\\c&-3&1\end{vmatrix} =a\cdot(-2)-(-2)\cdot(b+c)= -2a+2b+2c.\)

Para que o sistema seja compatível precisamos de \(D_x=0\), ou seja \(-2a+2b+2c=0\), que simplifica para \(a-b-c=0\). Portanto a condição requerida é \(a-b-c=0\).