O sistema de duas equações lineares, tem em uma das equações os seus coeficientes dependendo do valor de uma constante k a ser fixada. Qual valor da constante k faz com que esse si

Gabarito

Certo

Comentário do professor

O sistema é homogêneo, ou seja, da forma \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) e admite sempre a solução trivial \(\mathbf{x}=(0,0)\). Para haver solução não trivial é necessário que a matriz dos coeficientes seja singular.

A matriz dos coeficientes é \(\begin{bmatrix}2 & 3\\ 1-k & k-1\end{bmatrix}\). Então calcule o determinante e imponha nulo:

\(\det = 2(k-1)-3(1-k)=2k-2-3+3k=5k-5\). Igualando a zero vem \(5k-5=0\), logo k=1.

Para \(k=1\) a segunda equação fica \(0\cdot x+0\cdot y=0\), que não impõe restrição. Sobram os pontos da reta \(2x+3y=0\), ou seja, existem infinitas soluções (mais de uma).