Três planos têm suas equações dadas, respectivamente, por 2x+2y+2z = 6; 3x+3y+3z = 9 e 4x+4y+4z = 12. Qual é a interseção entre eles?

Gabarito

A

Comentário do professor

Observe que cada equação é um múltiplo escalar da expressão \(x+y+z\). Por exemplo, \(2x+2y+2z=6\) pode ser escrita como \(2(x+y+z)=6\) e, dividindo por 2, obtém-se \(x+y+z=3\).

De forma análoga, \(3x+3y+3z=9\) e \(4x+4y+4z=12\) também reduzem para \(x+y+z=3\). Essa relação mostra a proporcionalidade entre os coeficientes e os termos constantes.

Como todas as três equações representam a mesma equação reduzida, elas descrevem o mesmo plano. Portanto, a interseção das três é exatamente o conjunto de pontos que satisfazem \(x+y+z=3\).

Conclui-se que a interseção é o plano \(x+y+z=3\).