Qual é a condição para que o número complexo \((\sqrt {2} \, + \, i \sqrt {2})^n,\) em que \(i\) é a unidade imaginária e \(n\) é um número inteiro positivo, seja um número real?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Escreva \(z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) em forma trigonométrica. O módulo é \(\rho=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt{4}=2\). Como \(\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\), o argumento é \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\).

Assim \(z=2\big(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\big)\) e, elevando à potência \(n\), \(z^n=2^n\big(\cos\tfrac{n\pi}{4}+i\sin\tfrac{n\pi}{4}\big)\).

Para que \(z^n\) seja real, a parte imaginária deve ser zero, isto é \(\sin\tfrac{n\pi}{4}=0\). Isso ocorre quando \(\tfrac{n\pi}{4}=k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\), logo \(n=4k\). Portanto, \(n\) precisa ser um múltiplo de 4, e então \(z^n=2^n(-1)^k\), um número real.