Seja \(z\) um número complexo tal que (3 + 4\(i\))\(z^2\) = 5 − 12\(i\), onde \(i\) denota a unidade imaginária. Qual é o valor do módulo de \(z\)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Partimos da equação \((3+4i)\,z^2=5-12i\) e queremos o módulo de \(z\).

Aplicando o módulo em ambos os lados: \(\left|(3+4i)\,z^2\right|=\left|5-12i\right|\). Pela propriedade do módulo, o módulo de um produto é o produto dos módulos, e \(\left|z^2\right|=\left|z\right|^2\).

Logo \(\left|3+4i\right|\,\left|z\right|^2=\left|5-12i\right|\). Calculando os módulos: \(\left|3+4i\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5\) e \(\left|5-12i\right|=\sqrt{5^2+(-12)^2}=13\).

Fica \(5\left|z\right|^2=13\), logo \(\left|z\right|^2=\dfrac{13}{5}\) e, finalmente, \(\left|z\right|=\sqrt{\dfrac{13}{5}}\).