Qual é o módulo do seguinte número complexo \(z=i^{512}-i^{1047}\)?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

As potências de \(i\) repetem-se a cada 4 termos: \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\). Essa periodicidade é o ciclo de ordem 4.

Como \(512=4\cdot128\), o resto da divisão por 4 é 0, logo \(i^{512}=1\). Como \(1047=4\cdot261+3\), o resto é 3, portanto \(i^{1047}=i^3=-i\).

Assim, \(z=i^{512}-i^{1047}=1-(-i)=1+i\).

O módulo de \(z=a+bi\) é \(\rho=\sqrt{a^2+b^2}\). Aqui \(a=1\) e \(b=1\), então \(\rho=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).