Qual o valor do número complexo \(z = \left ({ \large \sqrt 2 \over 2} - { \large \sqrt 2 \over 2}i\right)^{2024}\) , onde i denota a unidade imaginária?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Observe o número \(w=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}i\). Como \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\) e \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), temos \(w=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\).

Em forma exponencial, \(w=e^{-i\pi/4}\). Ao elevar à potência 2024: \(w^{2024}=e^{-i(2024\cdot\pi/4)}=e^{-i506\pi}\).

O módulo de \(e^{-i506\pi}\) é 1 e o argumento \(-506\pi\) é múltiplo de \(2\pi\) (pois \(-506\pi=-253\cdot2\pi\)), portanto a potência retorna ao ponto \(1\) no eixo real positivo.

Assim, o valor de \(z\) é 1.