Considere que \(z_1 = a + i \ e \ z_2 = 1 − ai\) , onde \(a\) é um número real e \(i\) denota a unidade imaginária. Qual é o conjunto \(S\) formado por todos os valores de \(a\) ,

Gabarito

A

Comentário do professor

Dados \(z_1=a+i\) e \(z_2=1-ai\), calcule o produto: \(z_1z_2=(a+i)(1-ai)\).

Expandindo: \(z_1z_2=a - a^2i + i - a i^2\). Como \(i^2=-1\), temos \(z_1z_2=a - a^2i + i + a\).

Reagrupando, o produto é \(z_1z_2=(2a) + (1-a^2)i\). Para que \(z_1z_2\) seja real, a parte imaginária deve ser zero, ou seja \(1-a^2=0\).

Logo \(a^2=1\), o que dá \(a=1\) ou \(a=-1\). Portanto, o conjunto é S=\{\(-1\), \(1\)\}.