Seja \(z\) = 3 + 5\(i\)2024, onde \(i\) denota a unidade imaginária. Qual é a parte imaginária do número (\(z\) − 4\(i\))(\(z\) + 4\(i\)) + 5\(iz\)?

Gabarito

D

Comentário do professor

Observe que as potências de \(i\) são cíclicas de ordem 4. Como \(2024\) é múltiplo de 4, temos \(i^{2024}=1\), logo \(z=3+5i^{2024}=3+5=8\).

Substituindo \(z\) na expressão, obtemos \((8-4i)(8+4i)+5i\cdot 8\). Note que \(5i\cdot 8=40i\).

Aplicando o produto da soma pela diferença: \((8-4i)(8+4i)=8^2-(4i)^2=64-16i^2\). Como \(i^2=-1\), isso vale \(64-16(-1)=64+16=80\).

Assim a expressão total é \(80+40i\). A parte imaginária é o coeficiente de \(i\), isto é, 40.