A parte real da soma \(\sum^{19}_{k=0} \, i^k \, = \, 1 \, + \, i \, + \, i^2 \, +...+ \, i^{18} \, + \, i^{19},\) em que \(i\) denota a unidade imaginária, é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

As potências de i repetem-se a cada 4 termos:

\(i^0=1,\; i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1\).

Cada grupo de quatro termos forma um ciclo cuja soma é \(1+i-1-i=0\).

Do índice \(k=0\) até \(k=19\) há 20 termos, isto é \(20/4=5\) ciclos completos.

Portanto \( \sum_{k=0}^{19} i^k = 5\cdot0=0\).

Assim, a parte real dessa soma é \(0\).