Considere o número complexo \(z=a+2i\) onde \(a\) é um número real. Qual é o valor de \(a\) para que o número \(z^2+iz+3z\) seja um número real onde \(z\) é o número complexo consi

Gabarito

A

Comentário do professor

Para que \(z^2+iz+3z\) seja um número real, sua parte imaginária precisa ser zero.

Substituindo \(z=a+2i\) obtemos \( (a+2i)^2 + i(a+2i) + 3(a+2i)\).

Expandindo e usando \(i^2=-1\): \(a^2+4ai-4 + ai-2 +3a+6i\).

Agrupando as partes real e imaginária resulta em \( (a^2+3a-6) + (5a+6)i\).

Impondo a nulidade da parte imaginária vem \(5a+6=0\), portanto \( \mathbf{a=-\tfrac{6}{5}}\).