Sendo i a unidade imaginária, qual é o valor da soma \(i+i^2+i^3+\,...\,+i^{2022}\)?

Gabarito

D

Comentário do professor

Sendo \(i\) a unidade imaginária, observe as potências: \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\). Essas potências são cíclicas de período 4.

A soma de um ciclo de quatro termos é \(i+i^2+i^3+i^4=i+(-1)+(-i)+1=0\). Logo, cada bloco de quatro potências contribui com zero para a soma total.

Divida 2022 por 4: \(2022=4\cdot 505+2\). Há 505 ciclos completos (soma zero) e sobra um bloco com os 2 primeiros termos do próximo ciclo.

Portanto a soma procurada reduz-se a \(i+i^2\), que é \(i+(-1)=i-1\).