Se \(x\) = 2\(i\), então, qual o valor da soma \(\textstyle \sum_{n=1}^{10} x^n\)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Substituindo \(x=2i\) temos a soma geométrica \(\displaystyle S=\sum_{n=1}^{10}(2i)^n\). Use a fórmula da soma: \(\;S=x\frac{1-x^{10}}{1-x}\) para \(x\neq1\).

Calcule \(x^{10}=(2i)^{10}=2^{10}i^{10}=1024\cdot i^{10}\). Como \(i^4=1\) segue \(i^{10}=i^{8}i^2=i^2=-1\), logo \((2i)^{10}=-1024\).

Substituindo: \(\;S=2i\frac{1-(-1024)}{1-2i}=2i\frac{1025}{1-2i}=\frac{2050i}{1-2i}\). Multiplicando pelo conjugado \(\frac{1+2i}{1+2i}\) obtém-se \(\;S=410i(1+2i)=410i+820i^2=-820+410i\).

Observação: a banca indica a Letra B como \(-410i-820\), porém o cálculo correto resulta em \(-820+410i\), portanto há discordância entre o gabarito e o resultado calculado.