Seja \(z=cos(t)+isen(t)\), em que 0 < t < \(\dfrac{π}{6}\) é um número real fixado. O módulo do número complexo \(\dfrac{z\bar{z}}{(z+\bar{z})^2-(\bar{z}-z)^2}\) dado por:

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja \(z=\cos t+i\sin t\). O conjugado é \(\bar z=\cos t-i\sin t\). Calculamos primeiro o numerador: produto \(z\bar z=(\cos t+i\sin t)(\cos t-i\sin t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1\).

Agora as somas e diferenças: \(z+\bar z=2\cos t\) e \(\bar z-z=-2i\sin t\). Então o denominador é

\((z+\bar z)^2-(\bar z-z)^2=(2\cos t)^2-(-2i\sin t)^2=4\cos^2 t-4i^2\sin^2 t=4\cos^2 t+4\sin^2 t=4.\)

Assim a expressão vale \( \dfrac{1}{4}\). Como é um número real positivo, seu módulo é simplesmente \( \dfrac{1}{4}\), que é o resultado pedido.