Dados \(a\), \(b\) dois números reais, definimos a exponencial \(e^z\) do número complexo \(z=a+ib\) como \(e^z = e^a(cos(b)+isen(b))\). Sabendo que \(e^{nz} = (e^z)^n\) para qualq

Gabarito

A

Comentário do professor

Aplicamos a definição exponencial para números complexos: \(e^{a+ib}=e^a(\cos b + i\sin b)\).

Assim, \(e^{1+i\pi}=e^1(\cos\pi + i\sin\pi)=e(-1 + i\cdot 0)=-e\).

Elevando à quarta potência, \((e^{1+i\pi})^4 = (-e)^4 = (-1)^4 e^4 = e^4\).

Como verificação alternativa, usando \(e^{nz}=(e^z)^n\) ou calculando \(e^{4(1+i\pi)}=e^{4}(\cos 4\pi + i\sin 4\pi)=e^4\), obtemos a mesma resposta.

Conclusão: o valor é \(e^4\).