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Questão FC450843

No plano complexo de Argand-Gauss, dados \(Z_0 = 1 + 2i\) e \(R=4\) cm, qual é a área, em cm2, da interseção do conjunto dos pontos \(z\) tais que |\(z-z_0\)| \(\le\) \(R\) e o con

Números Complexos

Instituto Verbena · 2023

No plano complexo de Argand-Gauss, dados \(Z_0 = 1 + 2i\) e \(R=4\) cm, qual é a área, em cm2, da interseção do conjunto dos pontos \(z\) tais que |\(z-z_0\)| \(\le\) \(R\) e o conjunto dos \(z\) tais que |\(z-z_0\)| \(\ge\) \(2\)?

  1. 2 \(\pi\).
  2. 4 \(\pi\).
  3. 12 \(\pi\).
  4. 20 \(\pi\).
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Os conjuntos têm o mesmo centro \(z_0\), portanto são círculos concêntricos. O conjunto \( |z-z_0| \le 4 \) é o disco de raio 4 e o conjunto \( |z-z_0| \ge 2 \) é a região externa ao disco de raio 2.

A interseção reúne os pontos cuja distância ao centro satisfaz \(2 \le |z-z_0| \le 4\). Essa região é um anel (coroa circular) com raio interno 2 e raio externo 4.

A área do anel é a diferença entre as áreas dos dois discos: \( \pi(4^2)-\pi(2^2)=\pi(16-4)=12\pi\).

Portanto a área da interseção é \(12\pi\) cm2.

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