Seja (an) uma progressão geométrica com a1 = 1 e a razão q = \(\frac{1+i}{1-i}\), em que \(i=\sqrt{-1}\) é a unidade imaginária. A soma dos 2023 primeiros termos dessa PG é

Gabarito

D

Comentário do professor

Multiplique \(q=\frac{1+i}{1-i}\) pelo conjugado \(1+i\): \(q=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i\). Assim, q = i.

Temos \(a_1=1\) e razão \(r=i\). A soma dos \(n\) primeiros termos é \(S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}\), portanto \(S=\frac{i^{2023}-1}{i-1}\).

Como \(i^4=1\), \(i^{2023}=i^{4\cdot505+3}=i^3=-i\). Logo \(S=\frac{-i-1}{i-1}\).

Multiplique numerador e denominador por \(i+1\): \(S=\frac{(-i-1)(i+1)}{(i-1)(i+1)}=\frac{-i^2-2i-1}{i^2-1}=\frac{-2i}{-2}\).

Portanto, \( \boxed{S = i} \). S = i.