Considere o número complexo \(u=1+\sqrt{3i}\), sendo \(i=\sqrt{-1}\). Neste caso, o valor de u6 é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Interprete aqui \(u\) como \(u=1+i\sqrt{3}\).

Calcule o módulo: \(r=|u|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2\).
Calcule o argumento: \(\theta=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\frac{\pi}{3}\).

Na forma polar \(u=r(\cos\theta+i\sin\theta)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\).

Pelo teorema de De Moivre, \(u^6=r^6\left(\cos6\theta+i\sin6\theta\right)=2^6\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)=64\cdot1=64\).