Considere as retas \(r(t)=(2,3)+t(1,3)\,e\,s(t)=(1,2)+t(1\dfrac{1}{2})\) \(t∈\mathbb{R}\). O menor ângulo entre as retas dadas é igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

Vetores diretores: da forma paramétrica temos \(\vec u=(1,3)\) e \(\vec v=\left(1,\tfrac{1}{2}\right)\).

O cosseno do menor ângulo entre as retas vem do produto escalar: \<\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\)\>.

Calculemos: \(\vec u\cdot\vec v=1+3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), \(\|\vec v\|=\sqrt{1^2+(\tfrac{1}{2})^2}=\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\tfrac{\sqrt5}{2}\).

Logo \(\cos\theta=\dfrac{\tfrac{5}{2}}{\sqrt{10}\cdot\tfrac{\sqrt5}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{\sqrt2}{2}\), portanto \(\theta=45^\circ\).