Certo triângulo equilátero possui área A e perímetro P. Se A e P satisfazem a equação \(A + P^2 \sqrt 3 - 3P = 0\), qual é o valor do lado desse triângulo?

Gabarito

D

Comentário do professor

Área e perímetro de um equilátero de lado l são \(A=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\) e \(P=3l\).

Substituindo na equação \(A+P^2\sqrt{3}-3P=0\) obtém-se \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}l^2+(3l)^2\sqrt{3}-9l=0\), ou seja \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}l^2+9\sqrt{3}\,l^2-9l=0\).

Agrupando os termos com \(l^2\): \(\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{4}+9\right)l^2-9l=0\), com \(\dfrac{1}{4}+9=\dfrac{37}{4}\), fica \(\dfrac{37\sqrt{3}}{4}l^2-9l=0\).

Como \(l\neq0\), divide-se por \(l\): \(\dfrac{37\sqrt{3}}{4}l-9=0\). Resolvendo, \(l=\dfrac{9\cdot4}{37\sqrt{3}}=\dfrac{36}{37\sqrt{3}}\). Racionalizando o denominador chega-se a resultado \(l=\dfrac{36\sqrt{3}}{111}\).