Um triângulo áureo agudo é um triângulo isósceles cuja medida de suas laterais dividida pela medida de sua base é igual ao número de ouro \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) . Se um triângul

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Um triângulo áureo isósceles com base \(1\) tem cada lateral igual ao número de ouro \( \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \). Assim a meia base vale \( \dfrac{1}{2} \) e formamos um triângulo retângulo com hipotenusa \( \varphi \) e catetos \( h \) (altura) e \( \dfrac{1}{2} \).

Pelo Teorema de Pitágoras, \( h^2=\varphi^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \). Como \( \varphi^2=\dfrac{(1+\sqrt{5})^2}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} \), obtemos \( h^2=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5+2\sqrt{5}}{4} \).

Logo \( h=\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \). A área é \( A=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{1\cdot h}{2}=\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4} \), que equivale a \( \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5}+5}}{4}\,cm^2\).