Questão FC450876
Observe a figura a seguir. Para desenhar uma proposta de logomarca, um designer gráfico utilizou como base o lado AB de um quadrado ABCD, a partir do qual desenhou dois triângulos:
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2025
Observe a figura a seguir.
Para desenhar uma proposta de logomarca, um designer gráfico utilizou como base o lado AB de um quadrado ABCD, a partir do qual desenhou dois triângulos: um deles, AFB, é equilátero e o outro, AEB, é isósceles, conforme a figura. Depois, coloriu o interior do polígono AEBF e traçou o segmento EF. Ainda sem dar a obra por finalizada, resolveu entregar a proposta para avaliação de seus pares, colegas designers. Os colegas sugeriram que ele utilizasse uma cor diferente para o traçado dos segmentos AE, BE e EF, destacando o modo como esses segmentos parecem apontar para cima. Considerando \(n\) a medida do lado do quadrado ABCD, a expressão que representa o comprimento dos três segmentos juntos é
- \(n(\frac{2+\sqrt{5}}{2})\)
- \(n(\frac{2-\sqrt{5}}{2})\)
- \(n(\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2})\)
- \(n(\frac{2-2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2})\)
- \(n(\frac{2+2\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2})\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
No triângulo retângulo ADE os catetos medem \(n\) e \(n/2\). Aplicando Pitágoras obtemos AE:
\(AE^2=n^2+\dfrac{n^2}{4}=\dfrac{5n^2}{4}\), portanto \(AE=\dfrac{n\sqrt{5}}{2}\).
Como o triângulo AEB é isósceles com base AB, temos BE = AE = \(\dfrac{n\sqrt{5}}{2}\).
No triângulo equilátero AFB a altura vale \(\dfrac{n\sqrt{3}}{2}\). Projetando sobre AB conclui‑se que EF corresponde à diferença entre o lado AB e essa altura, isto é \(EF=n-\dfrac{n\sqrt{3}}{2}\).
Soma dos três segmentos:
\(\dfrac{n\sqrt{5}}{2}+\dfrac{n\sqrt{5}}{2}+n-\dfrac{n\sqrt{3}}{2}=\dfrac{n}{2}\,(2\sqrt{5}+2-\sqrt{3})\), que é a expressão indicada na alternativa correta.
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