Em um triângulo retângulo, a soma das medidas de um cateto e da hipotenusa é igual a 5, e o ângulo oposto a um dos catetos mede 45º. A medida da hipotenusa desse triângulo é igual

Gabarito

A

Comentário do professor

Seja o cateto \(x\) e a hipotenusa \(h\). Como o ângulo oposto a um dos catetos mede 45º, o triângulo é retângulo isósceles e vale \(\sin 45^\circ=\frac{x}{h}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Daí \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,h\). Pela condição dada, \(x+h=5\), logo \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,h+h=5\).

Fatorando \(h\): \(h\!\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=5\). Assim \(h=\dfrac{5}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{10}{2+\sqrt{2}}\).

Racionalizando o denominador: \(h=\dfrac{10(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\dfrac{10(2-\sqrt{2})}{2}=5(2-\sqrt{2})\).

Portanto, a medida da hipotenusa é \(10-5\sqrt{2}\).