Se, em um triângulo retângulo, as medidas dos lados formam uma progressão aritmética e são inteiros positivos, então a medida

Gabarito

B

Comentário do professor

Se os três lados são inteiros positivos e formam uma progressão aritmética, podemos escrevê‑los como \(a-k\), \(a\) e \(a+k\), com \(a,k\in\mathbb{Z}^+\).

Pela fórmula de Pitágoras para o triângulo retângulo: \((a+k)^2=(a-k)^2+a^2\). Expandindo, temos \(a^2+2ak+k^2=(a^2-2ak+k^2)+a^2\).

Simplificando os termos iguais e rearranjando resulta \(a^2=4ak\), logo \(a=4k\) (como \(a\) e \(k\) são positivos).

Assim os comprimentos são \(a-k=3k\), \(a=4k\) e \(a+k=5k\). Como \(k\) é inteiro, um dos catetos mede \(3k\), que é necessariamente um múltiplo de 3.