Questão FC450898
Leia o texto a seguir. Triângulos companheiros Considerando o triângulo ABC, isósceles de base BC, com ângulos medindo 36o, 72o e 72o, marcamos o ponto P em AC, tal que BP=BC. Dess
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2023
Leia o texto a seguir.
Triângulos companheiros
Considerando o triângulo ABC, isósceles de base BC, com ângulos medindo 36o, 72o e 72o, marcamos o ponto P em AC, tal que BP=BC.
Desse modo, os dois triângulos obtidos, ABP e BCP, são chamados triângulos companheiros, pois apresentam características peculiares entre eles e estritamente relacionadas ao triângulo original, ABC.
BARBOSA, R. M. Conexões e educação matemática: brincadeira, explorações e ações. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. [Adaptado].
Com base nessas informações, a medida dos ângulos dos triângulos BCP e ABP são, respectivamente, em graus:
- 30, 60 e 90; e 60, 60 e 30.
- 45, 45 e 90; e 60, 60 e 60.
- 36, 36 e 72; e 72, 72 e 36.
- 36, 72 e 72; e 36, 36 e 108.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Como \(BC=BP\), o triângulo BCP é isósceles com base \(CP\), então os ângulos em \(C\) e \(P\) são iguais. Como \(P\) está em \(AC\), temos \( \angle BCP=\angle BCA=72^\circ\). Logo \( \angle BPC=72^\circ\) e o ângulo em \(B\) vale \(180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ\). Assim, os ângulos de BCP são \(36^\circ,72^\circ,72^\circ\).
No triângulo ABP, como \(P\) está sobre \(AC\), vale \( \angle BAP=\angle BAC=36^\circ\). Do resultado anterior, \( \angle PBC=36^\circ\), então \( \angle ABP=\angle ABC-\angle PBC=72^\circ-36^\circ=36^\circ\). Assim ABP tem dois ângulos de \(36^\circ\) e o terceiro é \(180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ\).
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