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Questão FC450901

Leia o texto a seguir. O processo de relacionar aritmética, álgebra e geometria, iniciado por al-Khwārizmī e Abū Kāmil, continuou no mundo islâmico com o trabalho de Abū Bakr al-Ka

Geometria Plana

Instituto Verbena · 2025

Leia o texto a seguir.

 

O processo de relacionar aritmética, álgebra e geometria, iniciado por al-Khwārizmī e Abū Kāmil, continuou no mundo islâmico com o trabalho de Abū Bakr al-Karajī (falecido em 1019), que usou tal processo para provar que o resultado da soma de cubos, até 10, é igual ao quadrado da soma de 1 a 10, como mostra a expressão: 

 

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... 10^3 = (1+2+3+...+10)^2\)

 

Para fazer a prova, ele usou um quadrado ABCD, como na figura, com medida do lado igual à soma: (1+2+3+ ...+10). Dentro dele, configurou os quadrados menores: o primeiro (AB1C1D1), com lado igual a 1, o segundo (AB2C2D2), com lado igual a (1+2), e assim por diante, até o quadrado AB9C9D9. Assim, para calcular a área de ABCD, ele completou o quadrado AB9C9D9 com a área do gnômon*, o polígono B9C9D9DCB, destacado na figura. Desse modo, em um processo muito parecido com a indução matemática, ele provou a expressão anterior.

*gnômon: uma figura que, quando adicionada a um quadradoou retângulo, forma um quadrado maior.

 

KATZ, Victor J. A history of mathematics: An introduction. 3.ed. Person Education: Chicago, 1998. [Adaptado].

 

Com base nessas informações, considere um processo similar ao realizado por Al-Karajī, porém, a partir de um quadrado com lado medindo: \(1+2+3+...+(n-1)+n\), com \(n \in N, n > 1\) . Nesse caso, a expressão que representa a área do gnômon é dada por

  1. \((\frac{n^2+1}{2})^2-1\)
  2. \((\frac{n^2+n}{2})^2-n^2\).
  3. \((\frac{n^2+n}{2})^2-(n-1)^2\)
  4. \(2(n-1)(\frac{n^2-n}{2})+(n-1)^2\)
  5. \(2n(\frac{n^2-n}{2})+n^2\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Geométrica e algebricamente a expressão da alternativa E representa a área do gnômon criado ao acrescentar o lado \(n\) ao quadrado formado pelos termos até \(n-1\).

Primeiro note que a soma dos lados menores é \(1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}\). O gnômon pode ser visto como dois retângulos de base \(n\) e altura \(\dfrac{n(n-1)}{2}\), mais o quadrado do canto de lado \(n\).

Assim a área é \(2\cdot n\cdot\frac{n(n-1)}{2}+n^2\). Fazendo a álgebra: \(2n\left(\frac{n^2-n}{2}\right)+n^2=n(n^2-n)+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3\).

Portanto a alternativa E calcula corretamente a área do gnômon, que equivale a \(n^3\), passo essencial na prova geométrica da soma dos cubos.

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