Considere um quadrado de lado 1. Seu perímetro e sua diagonal, respectivamente, são elementos dos seguintes conjuntos numéricos:

Gabarito

A

Comentário do professor

Num quadrado de lado 1, o perímetro é dado por \(4\cdot 1\), isto é, \(4\).

Como \(4\) é um número inteiro positivo, pertence ao conjunto dos naturais.

A diagonal do quadrado mede \(1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\).

Para ver que \(\sqrt{2}\) é irracional, suponha que exista uma fração irredutível \(\frac{p}{q}\) tal que \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\).

Então \(2=\frac{p^2}{q^2}\), portanto \(p^2=2q^2\). Daí \(p^2\) é par, logo \(p\) é par; escrevendo \(p=2k\) obtemos \(4k^2=2q^2\) e \(q^2=2k^2\), logo \(q\) também é par, contradizendo a irredução.

Portanto a diagonal não é racional, confirmando que o perímetro é natural e a diagonal é irracional.