Questão FC450940
Marcando os pontos médios dos lados do quadrado ABCD, construiu-se o quadrado EFGH, com vértices nesses pontos médios. Com o mesmo procedimento, a partir dos pontos médios dos lado
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2023
Marcando os pontos médios dos lados do quadrado ABCD, construiu-se o quadrado EFGH, com vértices nesses pontos médios. Com o mesmo procedimento, a partir dos pontos médios dos lados do quadrado EFGH, construiu-se o quadrado IJKL e, assim sucessivamente, seguiu-se construindo uma sequência de quadrados. Os lados de cada um desses quadrados, a partir de ABCD, formam uma progressão geométrica de razão igual a
- \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .
- \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) .
- \(\dfrac{1}{2}\) .
- \(\dfrac{1}{2}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Seja o quadrado inicial ABCD com lado \(l\). Marcando os pontos médios dos lados e ligando-os obtemos um novo quadrado cujos vértices são esses pontos médios.
A medida do lado do novo quadrado é a distância entre dois pontos médios adjacentes, que formam um triângulo retângulo de catetos \(l/2\). Assim \(l_1=\sqrt{\left(\dfrac l2\right)^2+\left(\dfrac l2\right)^2}=\dfrac{l\sqrt2}{2}\).
Como os lados formam uma progressão geométrica, a razão é \(q=\dfrac{l_1}{l}=\dfrac{\frac{l\sqrt2}{2}}{l}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Portanto a razão da PG é \(\dfrac{\sqrt2}{2}\), valor independente de \(l\).
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