Questão FC450954
Sabendo que o lado da região quadrada mede 16 metros e que os quatros triângulos desenhados pelo pedreiro são isósceles, qual é a medida, em metros, do lado do octógono regular?
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2023
Uma região plana e quadrada de uma praça foi destinada para a construção de um chafariz, que deve ser alocado no interior de um tanque (ou piscina), coletor da água jorrada pelas bicas do chafariz. Para tal construção, o pedreiro marcou no chão quatro triângulos a partir de cada um dos vértices desse quadrado, como mostra a figura a seguir. Desse modo, construiu uma piscina coletora com formato de octógono regular.
Sabendo que o lado da região quadrada mede 16 metros e que os quatros triângulos desenhados pelo pedreiro são isósceles, qual é a medida, em metros, do lado do octógono regular?
- 8(\(\sqrt{2}\) + 1)
- 8(\(\sqrt{2}\) - 1)
- 16(\(\sqrt{2}\) + 1)
- 16(\(\sqrt{2}\) - 1)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Os quatro cortes nos vértices são triângulos de vértice \(90^\circ\) e catetos iguais, isto é, triângulos isósceles retângulos. Se chamarmos de \(x\) o comprimento de cada cateto, a hipotenusa desses triângulos, que é o lado do octógono, mede \(s=x\sqrt2\).
Ao percorrer um lado do quadrado temos: cateto \(x\) + lado do octógono \(s\) + cateto \(x\) = 16, ou seja \(2x+s=16\). Substituindo \(s=x\sqrt2\) obtém-se \(2x+x\sqrt2=16\), logo \(x(2+\sqrt2)=16\).
Assim \(x=\dfrac{16}{2+\sqrt2}=\dfrac{16(2-\sqrt2)}{2}=8(2-\sqrt2)\). Finalmente \(s=x\sqrt2=8(2-\sqrt2)\sqrt2=16(\sqrt2-1)\).
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