A figura ABCDEF representa um hexágono regular. A razão entre as áreas do triângulo destacado em cinza e do hexágono ABCDEF é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

Num hexágono regular de lado \(a\) podemos dividi‑lo em 6 triângulos equiláteros iguais. Assim a área do hexágono é \(A_{hex}=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\).

O triângulo \(ACE\) é equilátero de lado igual a duas alturas dos triângulos de lado \(a\), logo \(l_{ACE}=2\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=a\sqrt3\).

O triângulo hachurado é equilátero semelhante a \(ACE\) e tem lado igual a \(\dfrac{1}{3}l_{ACE}\), isto é \(l_h=\dfrac{a\sqrt3}{3}\). Sua área vale \(A_h=\dfrac{(l_h)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{a^2\sqrt3}{12}\).

Portanto a razão pedida é \(\dfrac{A_h}{A_{hex}}=\dfrac{\tfrac{a^2\sqrt3}{12}}{\tfrac{3a^2\sqrt3}{2}}=\dfrac{1}{18}\).