O vitral de uma igreja foi construído conforme a imagem acima, por um círculo maior contendo seis círculos idênticos. Qual é a fração da área do círculo maior que está sombreada?

Gabarito

B

Comentário do professor

Os centros dos seis círculos iguais formam um hexágono regular, porque círculos tangentes têm distância entre centros igual a \(2r\), sendo \(r\) o raio do círculo menor.

Num hexágono regular, a distância do centro ao vértice é igual ao lado. Logo, a distância do centro comum até o centro de cada círculo menor é \(2r\). O raio do círculo maior é essa distância mais o raio do pequeno: \(R=2r+r=3r\).

A área sombreada é a área do círculo maior menos a soma das áreas dos seis círculos menores: \(A_s=\pi R^2-6\pi r^2\). Substituindo \(R=3r\) obtemos \(A_s=\pi(3r)^2-6\pi r^2=9\pi r^2-6\pi r^2=3\pi r^2\).

A fração pedida é \(\dfrac{A_s}{A_M}=\dfrac{3\pi r^2}{9\pi r^2}=\dfrac{1}{3}\).