Questão FC450967
Motivado por essa ilustração, suponha que se tem uma sequência de círculos encaixados, de modo que todos eles possuam o mesmo centro. Suponha que o primeiro círculo possua raio igu
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2023
Maurits Escher foi um artista holandês que utilizava figuras geométricas de maneira repetida para preencher determinadas áreas e, com isso, criava obras que apresentavam espetaculares efeitos de ilusão de ótica, como pode ser visto na figura abaixo:
Motivado por essa ilustração, suponha que se tem uma sequência de círculos encaixados, de modo que todos eles possuam o mesmo centro. Suponha que o primeiro círculo possua raio igual a 10 e que o raio do próximo círculo da sequência seja o raio do círculo anterior dividido por 10. Qual será a área do trigésimo círculo que aparece nesta composição?
- \(\pi /10^{30}\).
- \(\pi /10^{31}\).
- \(\pi /10^{56}\).
- \(\pi /10^{58}\).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
As medidas dos raios formam uma progressão geométrica com primeiro termo \(a_1=10\) e razão \(q=\tfrac{1}{10}\). Cada termo é obtido por \(a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\).
O raio do trigésimo círculo é \(a_{30}=10\cdot\left(\tfrac{1}{10}\right)^{29}=10\cdot\tfrac{1}{10^{29}}=\tfrac{1}{10^{28}}\).
Sabendo isso, a área do círculo é \(A=\pi r^2\). Logo, \(A=\pi\cdot\left(\tfrac{1}{10^{28}}\right)^2=\dfrac{\pi}{10^{56}}\), que corresponde à alternativa correta.
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