Questão FC450970
Desenhe dentro de um quadrado uma circunferência inscrita de raio R, isto é, uma circunferência que tangencia os quatro lados do quadrado. No canto inferior direito, interno ao qua
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2024
Desenhe dentro de um quadrado uma circunferência inscrita de raio R, isto é, uma circunferência que tangencia os quatro lados do quadrado. No canto inferior direito, interno ao quadrado e externo a circunferência, desenhe outra circunferência de raio S que tangencie dois lados do quadrado e a primeira circunferência também.
Nesse caso, a razão S/R entre o raio da circunferência menor e o raio maior é
- \(\sqrt{2} - 1\)
- \((\sqrt{2} + 1)^2\)
- \((\sqrt{2} - 1)^2\)
- \(\sqrt{2} + 1\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
No desenho, coloque a origem no canto inferior esquerdo e o quadrado com lado \(2R\). O centro da circunferência maior fica em \((R,R)\). A circunferência pequena, tangente aos lados direito e inferior, tem centro em \((2R-s,s)\).
A distância entre os centros é a diagonal de um quadrado de lado \(R-s\), isto é \((R-s)\sqrt2\). Como as circunferências se tangenciam externamente, essa distância é também \(R+s\). Assim:
\(R+s=(R-s)\sqrt2\).
Resolvendo: \(R+s=R\sqrt2-s\sqrt2\Rightarrow s(\sqrt2+1)=R(\sqrt2-1)\). Então
\(\dfrac{s}{R}=\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=\dfrac{(\sqrt2-1)^2}{2-1}=(\sqrt2-1)^2\).
Portanto, a razão é \((\sqrt{2}-1)^2\).
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