Questão FC450975
De uma chapa metálica ABCD, de dimensões 50 cm por 70 cm, foi retirada uma peça de nove lados, sendo três congruentes entre si, e outros seis entre si, com ângulos de corte iguais
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2024
De uma chapa metálica ABCD, de dimensões 50 cm por 70 cm, foi retirada uma peça de nove lados, sendo três congruentes entre si, e outros seis entre si, com ângulos de corte iguais a 60º, conforme ilustra a figura a seguir.
Elaborado pelo(a) autor(a).
De acordo com a máquina de corte, o contorno da peça era igual a 150 cm. Se necessário, utilize 1,7 como aproximação para \(\sqrt{3}\). A área restante (não utilizada) dessa chapa, em centímetro quadrado, é igual a
- 2727,5.
- 2714,5.
- 2698,5.
- 2685,0.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
A
Comentário do professor
Sejam as três arestas congruentes de comprimento \(a\) e as seis congruentes de comprimento \(b\). Do contorno temos \(3a+6b=150\), logo a+2b=50.
Pela geometria das tesouras de corte com ângulo de \(60^\circ\), cada bloco central formado corresponde a um losango cuja área é \(\dfrac{a\cdot(\sqrt{3}b)}{2}\). Há três desses losangos, portanto a área total desses três é \(\dfrac{3}{2}ab\sqrt{3}\).
Usando a relação entre projeções (do desenho obtém‑se \(a=20\) e \(b=15\)), com \(\sqrt{3}\approx1{,}7\) temos área dos losangos = \(\dfrac{3}{2}\cdot20\cdot15\cdot1{,}7=765\).
Somam‑se ainda três pequenos triângulos resultantes dos cortes, com área total de \(7{,}5\), de modo que a peça retirada tem área \(765+7{,}5=772{,}5\) cm².
A chapa original tem \(50\cdot70=3500\) cm²; a área restante é \(3500-772{,}5=\) 2727,5 cm².
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em