Qual é a razão entre o volume de um cilindro \(V_c\) de altura \(h=4R/3\) inscrito em uma esfera de raio R e volume \(V_e\), ou seja, \(V_c/V_e\) é dado por?

Gabarito

B

Comentário do professor

O cilindro inscrito tem altura \(h=\dfrac{4R}{3}\), portanto metade da altura é \(h/2=\dfrac{2R}{3}\). Pela geometria da esfera, o raio da base do cilindro satisfaz \(R^2=r^2+(h/2)^2\).

Logo, \(r^2=R^2-\left(\dfrac{2R}{3}\right)^2=R^2-\dfrac{4R^2}{9}=\dfrac{5R^2}{9}\).

O volume do cilindro é \(V_c=\pi r^2 h=\pi\cdot\dfrac{5R^2}{9}\cdot\dfrac{4R}{3}=\dfrac{20\pi R^3}{27}\). O volume da esfera é \(V_e=\dfrac{4\pi R^3}{3}\).

A razão é \( \dfrac{V_c}{V_e}=\dfrac{20\pi R^3/27}{4\pi R^3/3}=\dfrac{20}{27}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{9}\). Portanto, \(V_c/V_e=5/9\).