Questão FC451007
Considerando que o interior de uma parte de uma artéria tenha o formato de um cilindro circular reto de raio R cm, descobriu-se que a velocidade do sangue, nessa parte da artéria,
Geometria Espacial
Instituto Verbena · 2024
Considerando que o interior de uma parte de uma artéria tenha o formato de um cilindro circular reto de raio R cm, descobriu-se que a velocidade do sangue, nessa parte da artéria, depende da distância do sangue ao eixo central da artéria (BATSCHELET, E. Introduction to Mathematics for Life Scientists, 1979). Dessa forma, a velocidade, em centímetros por segundo, do sangue que está a \(x\) centímetros do eixo central dessa parte da artéria é dada pela função \(v(x) \, = \, K(R^2 \, - \, x^2),\) em que \(K\) é uma constante real positiva.
De acordo com essa função, os valores de maior e menor velocidade do sangue são atingidos, respectivamente,
- no eixo central e na parede da artéria.
- na parede e no eixo central da artéria.
- a meio caminho entre o eixo central e a parede e na parede da artéria.
- na parede e a meio caminho entre o eixo central e a parede da artéria.
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Gabarito
A
Comentário do professor
A função dada é \(v(x)=K(R^2-x^2)\), com \(K>0\) e \(0\le x\le R\). Para estudar extremos, calcule a derivada: v'(x)=-2Kx.
Como \(v'(x)<0\) para todo \(x>0\), a função é estritamente decrescente no intervalo considerado. Logo, o maior valor ocorre no menor \(x\) do domínio e o menor valor no maior \(x\).
No ponto \(x=0\) (o eixo central) temos \(v(0)=K R^2\), que é a velocidade máxima. Na parede, \(x=R\), obtemos \(v(R)=0\), que é a velocidade mínima.
Fisicamente, isso coincide com o comportamento esperado em escoamentos: máxima velocidade no centro e velocidade nula na parede devido ao contato com a superfície.
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