Questão FC451012
Observe a figura a seguir. Considere um cilindro circular reto de base com raio \(R\) e altura \(H\) e um cone circular reto de base com raio \(R\) e altura \(H\), cujo vértice coi
Geometria Espacial
Instituto Verbena · 2024
Observe a figura a seguir.
Considere um cilindro circular reto de base com raio \(R\) e altura \(H\) e um cone circular reto de base com raio \(R\) e altura \(H\), cujo vértice coincide com o centro da base do cilindro, conforme imagem apresentada. A região hachurada na figura, em forma de coroa circular, é a parte da seção transversal perpendicular as alturas, compreendida entre o cilindro e cone, tomada a partir de uma altura \(h\) a partir da base do cilindro. A área da ragião hachurada é igual a:
- \(πR^2(\dfrac{H-h}{H})^2.\)
- \(πR^2(\dfrac{H+h}{H})^2.\)
- \(πR^2(\dfrac{H^2-h^2}{H^2}).\)
- \(πR^2(\dfrac{H-h}{H})^2.\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Usando semelhança de triângulos, relacionamos o raio da seção do cone a uma altura \(h\). Do triângulo gerador do cone temos \(\dfrac{R}{H}=\dfrac{r}{h}\), logo \(r=\dfrac{hR}{H}\).
A região hachurada é uma coroa circular com raio externo \(R\) e raio interno \(r\). A área da coroa vale \( \pi(R^2-r^2)\).
Substituindo \(r\) obtemos \( \pi\Big(R^2-\dfrac{h^2R^2}{H^2}\Big)=\pi R^2\Big(\dfrac{H^2-h^2}{H^2}\Big)\).
Portanto, a expressão correta para a área da região hachurada é \( \pi R^2\left(\dfrac{H^2-h^2}{H^2}\right)\), conforme a alternativa indicada.
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