Um cubo é cortado por um plano que passa exatamente em três dos seus vértices. Este plano divide o cubo em dois sólidos de volumes diferentes. A razão entre o maior e o menor volum

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja \(a\) a aresta do cubo. Escolhendo coordenadas, o plano que passa por exatamente três vértices pode ser escrito como \(x+y+z=a\), por exemplo passando por \((a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)\).

O sólido menor é o tetraedro formado por \((0,0,0)\) e esses três vértices. Trata-se do conjunto \(\{(x,y,z)\ge 0:\;x+y+z\le a\}\). Seu volume é o de um simplex com arestas proporcionais a \(a\), ou seja \(V_1=\dfrac{a^3}{3!}=\dfrac{a^3}{6}\).

O outro sólido tem volume \(V_2=a^3-V_1=a^3-\dfrac{a^3}{6}=\dfrac{5a^3}{6}\). Assim, a razão entre o maior e o menor volume é \(\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{5a^3/6}{a^3/6}=5\).