Questão FC451021
Todo o conteúdo de um barril de azeite completamente cheio foi despejado em embalagens menores de igual capacidade, de tal modo que foram necessárias 197 embalagens. Porém, uma des
Geometria Espacial
Instituto Verbena · 2023
Todo o conteúdo de um barril de azeite completamente cheio foi despejado em embalagens menores de igual capacidade, de tal modo que foram necessárias 197 embalagens. Porém, uma dessas embalagens não foi enchida completamente, pois apenas \(\dfrac{1}{4}\) de sua capacidade precisou ser enchida. Sabendo que o barril tem formato de cilindro reto e as embalagens menores têm o formato de prisma reto de base quadrada, sendo que a medida do lado do quadrado da base é \(\dfrac{1}{5}\) da medida do diâmetro do barril, a razão entre altura da embalagem e a altura do barril é
Use: \(π=3.14\)
- \(\dfrac{1}{10}\)
- \(\dfrac{1}{100}\)
- \(\dfrac{1}{1000}\)
- \(\dfrac{1}{10000}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
A solução parte do cálculo dos volumes. O barril é um cilindro de volume \(V_B=\pi r^2H\). Cada embalagem é um prisma de base quadrada de lado \(l\) e altura \(h\), com volume \(V_E=l^2h\).
Como \(l\) vale \(\dfrac{1}{5}\) do diâmetro do barril, temos \(l=\dfrac{d}{5}=\dfrac{2r}{5}\). Todo o conteúdo encheu 196 embalagens completas e \(\tfrac{1}{4}\) de mais uma, ou seja \(V_B=\left(196+\tfrac{1}{4}\right)V_E=\dfrac{785}{4}V_E\).
Substituindo: \(\pi r^2H=\dfrac{785}{4}\left(\dfrac{2r}{5}\right)^2h\). Cancelando \(r^2\) e simplificando obtém-se \(\pi H=\dfrac{157}{5}h\), portanto \(\dfrac{h}{H}=\dfrac{5\pi}{157}\). Com \(\pi=3{,}14\) resulta \(\dfrac{h}{H}=\dfrac{15{,}7}{157}=\dfrac{1}{10}\).
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