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Questão FC451034

Qual relação métrica há entre a altura h, o raio da base r desse cone e o raio da esfera?

Geometria Espacial

Instituto Verbena · 2022

Dada a esfera de equação x2 + y2 + z2 = 9.

 

O cone circular reto de raio da base r está inscrito na esfera se a circunferência da base é curva da esfera, e o vértice do cone é ponto da esfera, conforme figura a seguir.

 

Qual relação métrica há entre a altura h, o raio da base r desse cone e o raio da esfera?

  1. (h - 3) 2 + r2 = 9
  2. (h - 9)2 + r2 = 9
  3. h2 - r2 = 81
  4. h2 + r2 = 81
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Gabarito

A

Comentário do professor

Da equação \(x^2+y^2+z^2=9\) segue que o raio da esfera é \(R=3\).

Considere o eixo que passa pelo centro da esfera \(O\) e pelo vértice do cone \(V\). Seja \(C\) o centro da circunferência da base. A altura do cone é \(h=VC\).

A distância do centro da esfera \(O\) até o plano da base é \(OC=R-h\) (ou \(|h-R|\)).

Tomando um ponto \(P\) qualquer da circunferência da base, o segmento \(OP\) é raio da esfera (\(OP=R\)), \(CP\) é o raio da base (\(CP=r\)) e \(OC\) é cateto do triângulo retângulo \(OPC\).

Pelo Teorema de Pitágoras: \(OP^2=OC^2+CP^2\). Assim \(R^2=(R-h)^2+r^2\), com \(R=3\) resulta \((h-3)^2+r^2=9\).

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