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Questão FC451042

Considere um cubo de vértices ABCDEFGH, e o Plano 1 determinado pelos vértices A(1, 1, 1), F(0, 1, 0) e H(1, 0, 0), e o Plano 2 determinado pelos vértices D(1, 0, 1), B(0, 1, 1) e

Geometria Analítica

Instituto Verbena · 2024

Considere um cubo de vértices ABCDEFGH, e o Plano 1 determinado pelos vértices A(1, 1, 1), F(0, 1, 0) e H(1, 0, 0), e o Plano 2 determinado pelos vértices D(1, 0, 1), B(0, 1, 1) e E(1, 1, 0). Qual sistema representa a reta r interseção desses dois planos?

  1. 1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0 e 1(x - 1) +1(y – 0) + 1(z - 1) = 0
  2. 0(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 e 2(x - 1) -1(y – 0) + 2(z - 1) = 0
  3. 0(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 e -2(x - 1) +1(y – 0) + 2(z - 1) = 0
  4. 1(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0 e -2(x - 1) +1(y – 0) - 2(z - 1) = 0
  5. -1(x - 1) + 1(y - 1) - 2(z - 1) = 0 e 2(x - 1) -1(y – 0) - 2(z - 1) = 0
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para achar a reta de interseção escrevemos as equações dos dois planos por meio de seus vetores normais.

No Plano 1, use os vetores \(\vec{AF}=(-1,0,-1)\) e \(\vec{AH}=(0,-1,-1)\). O produto vetorial fornece \(\vec{n_1}=\vec{AF}\times\vec{AH}=(-1,-1,1)\).

Usando o ponto \(A(1,1,1)\), a equação do plano é \(\vec{n_1}\cdot(x-1,y-1,z-1)=0\), ou seja \(-1(x-1)-1(y-1)+1(z-1)=0\). Multiplicando por \(-1\) obtemos \(1(x-1)+1(y-1)-1(z-1)=0\).

No Plano 2, com \(\vec{DB}=(-1,1,0)\) e \(\vec{DE}=(0,1,-1)\), o produto vetorial dá \(\vec{n_2}=(-1,-1,-1)\).

Tomando o ponto \(D(1,0,1)\) vem \(\vec{n_2}\cdot(x-1,y-0,z-1)=0\), isto é \(-1(x-1)-1(y-0)-1(z-1)=0\). Multiplicando por \(-1\) resulta \(1(x-1)+1(y-0)+1(z-1)=0\).

Portanto o sistema que representa a reta \(r\) é exatamente

\(1(x-1)+1(y-1)-1(z-1)=0\) e \(1(x-1)+1(y-0)+1(z-1)=0\).

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